Nous allons maintenant envisager des utilisations du réseau réciproque.

Nous avons vu qu'une rangée d'indices [h,k,l] n'est pas, en général, perpendiculaire au plan d'indices de Miller (h,k,l).

Maintenant exprimons l'équation d'une rangée du réseau réciproque :

N = ha* + kb* + lc*

et imaginons que le réseau direct et le réseau réciproque soient tracés à partir de la même origine. Tracons une rangée R de ce réseau.

Si tracer les deux réseaux à partir de la même origine vous trouble, retournez en arrière. Pour revenir directement ici, utilisez la touche back de votre fureteur.

Eventuellement, revoyez aussi le dessin des réseaux direct et réciproque hexagonaux.

Soit M un noeud du réseau direct: il est l'extrémité du vecteur OM d'équation:

R = ua + vb + wc

Imaginons que M pointe successivement surtous les noeuds d'un plan P perpendiculaire à N. Ce plan est défini dans le réseau direct puisque OM est un vecteur de ce réseau. La projection de tous les vecteurs OM sur la normale au plan P tracée à partir de O, qui est N, est constante et égale à OQ.

On peut donc écrire : OM.N = OQ.N.

Soit :

OM.ON = (ua + vb + wc).(ha* + kb* + lc*)
OM.ON = hu + kv + lw

Si ce résultat vous étonne, revoyez la définition du réseau réciproque.

Supposons que le réseau soit primitif ; alors h,k,l, d'une part, u,v,w d'autre part, sont entiers et:

hu + kv + lw = K

où K est entier.

Ceci est l'équation du plan d'indices de Miller (h,k,l).

Donc, la normale au plan d'indices de Miller (h,k,l) est la rangée réciproque de composantes [h,k,l]*.

Comment calculer la distance entre plans successifs d'une même famille ?

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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996