Le réseau réciproque

Soient a, b, c  les trois vecteurs qui définissent une base absolument quelconque.

Nous allons définir la base d'un nouvel espace vectoriel, en introduisant les relations suivantes entre les vecteurs de la base a, b, c et ceux de la nouvelle a*, b*, c*.

Le réseau construit sur la base a*, b*, c* s'appelle le réseau réciproque.

Lorsqu'on examine ces relations scalaires , celle qui définit a* par exemple, on constate que ce vecteur est perpendiculaire à b et à c.

Remarquez que les unités de mesure sont inverses dans les deux repères: si on exprime les longueurs en angströms, par exemple, dans le réseau direct, l'unité de mesure sera l'inverse, c'est à dire des angströms-1, dans le réseau réciproque.

Cette dualité des deux réseaux n'est pas évidente à appréhender et nous la découvrirons progressivement dans la suite de ce cours.

On peut montrer que :

où (a, b, c) est le produit mixte de ces trois vecteurs, c'est-à-dire le volume de la maille directe.

Calculez vous même les expressions de b* et c*.

Vous devez trouver des expressions de la forme de celle que nous venons d'écrire pour a*. Pour effectuer ce calcul utilisez les produits scalaires définis ci-dessus aussi bien pour déterminer l'orientation des vecteurs que leur norme.

Ensuite trouvez les expressions de a, b, c en fonction des vecteurs de base du réseau réciproque.

Le calcul va vous prendre quelque temps.

...... Bonne chance !

Vous avez résolu le problème que je viens de vous poser ?

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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996

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